Juego matemático: El Teorema de Fermat

Hace unos años leí que este teorema, por muchos siglos había permanecido sin resolución. Como tantas cosas en la vida parece mentira que haya permanecido durante tanto tiempo sin finiquitarse, que algo enunciado y encima con “pistas” no haya sido comprendido.

No se bien porque todavía me sorprende este hecho, si tan difícil es entender los vericuetos en la política, en lo social, lo económico, en las relaciones interpersonales, etc., la verdad es sumamente elusiva a nuestros ojos

El caso es que este genio enunció el famoso teorema, pero, o la muerte lo sorprendió antes de escribir la solución- que dijo haberla encontrado y que no era mucho más larga que el espacio del margen de una hoja- ya que tenía la inveterada costumbre de escribir en los márgenes de cuanto caía en sus manos, – o como otros suponen, la respuesta se perdió en el tiempo.

Lo cierto que muchos matemáticos y aficionados trataron de encontrar la solución, en diferentes épocas, en especial desde que una universidad francesa y otra germana instituyeran premios para quien resolviera el mismo.

Dicen que alguien lo logró, pero no lo se y no me consta, por lo que me ha servido de entretenimiento el creer resolverlo, tal vez porque aparenta no ser necesaria más que una dosis de matemática de nivel casi primario.

El enunciado dice así : en el caso de los cuadrados, hay veces que se cumple que

a2 +b2 :z2 por ejemplo 3 2+4 2:5 2( tres al cuadrado más cuatro al cuadrado es igual a cinco al cuadrado – 9+16:25-) y el siguiente sería: 5 2+12 2:13 2 ( cinco al cuadrado mas doce al cuadrado es igual a trece al cuadrado -25+144:169-)

Luego decía ¿Qué relaciones serían posibles si an + bn : zn, cuando n es igual o mayor que 2, en números enteros, siendo z sucesivo de b (z: b + 1).

Tomamos un papel y un lápiz y la calculadora, empezamos a elevar al cuadrado, luego al cubo y paramos por un tiempo. Cuando volvimos a la carga se nos ocurrió que si Fermat pese a ser un genio, nos decía que la solución existía y era fácil-para su tiempo-, no podía ser entonces necesario hacer enormes cantidades de fórmulas y cuentas, bastaría con encontrar relaciones, escondidas sí, pero simples.

Comprobamos que había una relación en los cuadrados y era que se deben sumar dos superficies que con las condiciones dadas deben ser igual a una tercera, estos números son catetos e hipotenusa de triángulos sucesivos, -derivación del teorema de Pitágoras- la sumatoria de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa y son solo en algunos de los triángulos, ya que no podemos usar decimales. Estos son cada vez más alargados, ya que el cateto menor es igual a dos veces el del anterior menos uno, como vimos z: b + uno y b es igual b anterior más cuatro por Y, donde Y es igual dos elevado a la equis menos dos por la sumatoria de dos, por dos a la una más dos a la dos menos uno, etc. según el número de orden del triángulo considerado.

De esta forma tenemos los sucesivos triángulos que me molesté en calcular hasta donde alcanzó la calculadora:

32 + 42 :52 (9+16:25)

52 +122 :132 ( 25+144:1699

92+402:412 (81+1600:1681)

172+1442: 1452 (289+20736:21025)

332+5442:5452 (1089+295936:297025)

652+21122:21132 (4225+4460544:4464769)

1292+83202:83212 (16641+69222400:69239041)

2572+330242:330252 (66049+1090584578:109085625)

10252+5253122:5253132 etc.

20492+20992002:20992012

40972+83927042:83927052

81932+335626242:335626252 etc

Valores de Y:

X(relación) Y Cálculo
1 caso no existente 0 0.0 ……………… (2. Sumatoria de 0)
2 1 1.1 ……………… (2.Sumatoria de 1)
3 6 2.3 ……………… (2. Sumatoria de 1+2)
4 28 4.7 ……………… (4.Sumatoria de 1+2+4)
5 120 8.5 ……………… (8. Sumatoria de1+2+4+8)
6 496 16.31 ……………….. ´´
7 2016 32 .63 ………………..´´
8 8128 64 .127 ………………´´
9 32640 128 . 255 ……………´´
10 130816 256 .511 …………….´´
11 523776 512 .1023 …………..´´
12 2096128 1024 . 2047 ………..´´

etc. Formula General de Y : 2x-2 . 2.2 x-2-1

y la Formula general, para encontrar el triángulo siguiente que cumple también las condiciones pedidas por Fermat, sería:

a” 2+ b” 2 : z” 2 Sería: {2 a’-1}2+{b´(2x-2.2.2x-1…-1}2 : (b”+1)2

Como vemos los triángulos formados tienen formas cada vez más alargadas, el cateto mayor y la hipotenusa son desmesuradamente largos respecto a un cateto menor, que aunque crece es cada vez más despreciable frente a las otras mensurables. Por lo que podríamos decir que los triángulos mayores se asimilan a rectas –a partir del n° 7 – donde a tiende a ser inexistente ( en comparación), o sea tiende al valor 0 y los otros dos b y z se acercan a un valor infinitesimal, por lo que tendríamos una relación : b2 : z2 , que nos permitiría decir que en este caso límite que en las otras potencias se cumpliría el caso Fermat , pero si tratamos de asimilar lo requerido y elevar a, b y z como lo pide el teorema, ( al cubo, a la cuarta y lo que se desee),no podremos nunca realizar la igualdad de la sumatoria de los dos primeros términos con el tercero, por lo cual concluímos que solo algunos cuadrados cumplen las condiciones que describe el teorema de Fermat , bajo el cálculo encontrado y ninguna otra consigue la igualdad buscada , por ser el teorema de Fermat un ejercicio derivado del teorema de Pitágoras sobre los cuadrados, con exclusividad.

Que lindo es pensar que encontramos la respuesta, ¿la encontramos?, y….hay que pensar, ……hasta pronto.

8 thoughts on “Juego matemático: El Teorema de Fermat

  • Manlio lo hace parecer muy fácil, pero para hallar la conclusión de que solo algunos cuadrados cumplen con el teorema de Fermat, se pasó muchas horas , durante dos meses, como un obseso de la calculadora.
    Siempre que encuentra un misterio , se desespera para encontrarle explicación.

  • Muchos han intentado resolver este teorema. Wiles, como otros dicen haberlo resuelto, pero la realidad es que no. El propio Fermat dijo que su resolución no llevaría más que cuatro márgenes de hojas, o sea , nadie hasta ahora había cumplido con esta principal premisa.
    Todo lo hecho por “eximios” matemáticos no ha sido más que reiterados devaneos.
    Este artículo lo he escrito hace veinte años y ahora lo publico al ver que sigue teniendo total actualidad.

  • Hola:

    Si te gustan mucho los misterios, porque mejor no intentas descubrir la piedra filosofal por medio de algunos cálculos como lo hacía Isaac Newton con la estrella de régulo de antimonio. Soy un fanático de la alquimia y creo que tú podrías descubrir algo sobre tal piedra.

  • Hoy sabemos que no solo con los cálculos se pueden lograr la transmutación de los elementos, sino con un horno estelar, explosiones nuclares, una central atómica, o la simple degradación de elementos inestables.

    Esto eran comentarios que hacíamos con Manlio en el lejano secundario, por lo tanto, Manlio, hoy dificilmente escribiría sobre alquimia.

  • Hoy google festeja a Fermat, muy bueno, pero tenemos en Argentina el que ha hecho una mostración ajustada de lo que pide Fermat, una solución corta y se le ha dado el premio a quien ha mostrado un kilométrico conjunto de cálculos, e incluso con parámetros fuera de tema.

    Si no defendemos lo nuestro nos va a ir mal y más cuando es algo bueno.

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