Kurt Gödel: el filósofo-matemático que demostró con un teorema la existencia de Dios

Kurt Gödel , un matemático, lógico y filósofo que nació en 1906 en el Imperio austro húngaro, y que falleció en 1978 en Princeton, Estados Unidos, es considerado uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, debido al impacto de su trabajo en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Intentando emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática, Gödel se haría célebre gracias a sus dos teoremas de la incompletitud, (publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena, en los cuales demostró que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la propia lógica matemática del sistema).

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Gödel realizó también importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal, además de demostrar la existencia de soluciones paradójicas a las ecuaciones de campo de la relatividad general del famoso científico Albert Einstein, cuyos “universos rotatorios” permitirían viajar en el tiempo (sus soluciones se conocen como la métrica de Gödel o el universo de Gödel).

En 1946, después de huir del régimen Nazi y avecindarse en Estados Unidos, Gödel se convirtió en un miembro permanente del IEA (Instituto de Estudios Avanzados) de la Universidad de Princeton, lugar donde entabló una amistad legendaria con el mismo Albert Einstein, graficada en las famosas caminatas que daban juntos en las dependencias del IEA. El propio Einstein, hacia el final de su vida, le confiaría a sus cercanos que “su propio trabajo ya no importaba mucho, pues llegaba al instituto únicamente para tener el privilegio de caminar a casa junto a Kurt Gödel”.

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Einstein, de hecho, junto al economista Oskar Morgenstern, asesoraron a Gödel cuando éste dio su examen para obtener la ciudadanía estadounidense, preocupados de que el comportamiento impredecible de su amigo pusiera en riesgo su oportunidad. Se cuenta que cuando el juez que presidía el trámite mencionó brevemente el régimen nazi del cual había escapado, Gödel le informó que había descubierto una manera en que una dictadura pudiese instaurarse legalmente en los EE.UU., mediante una contradicción lógica que existía en la Constitución de ese país. Ni el juez ni Einstein o Morgenstern, por cierto, le permitieron a Gödel terminar la elaboración de su pensamiento y la ciudadanía norteamericana finalmente le fue entregada.

La demostración ontológica de Gödel

Durante sus años en el IEA, los intereses de Kurt Gödel se tornaron hacia la filosofía y la física. Estudió las obras de Gottfried Leibniz, Immanuel Kant y Edmund Husserl, y a principios de los años 70’ distribuyó entre sus colegas una prueba en la cual mediante argumentaciones lógico-matemáticas probó la existencia de Dios o un ser superior, basada en la argumentación ontológica previa de San Anselmo de Canterbury y en los trabajos del mismo Leibnitz , la cual se conoce ahora como la demostración ontológica de Gödel.

La demostración, que por cierto no es de fácil comprensión para los no iniciados, es la siguiente:

-Axioma 1. (Dicotomía) Una propiedad es positiva si, y sólo si, su negación es negativa.

-Axioma 2. (Cierre) Una propiedad es positiva si contiene necesariamente una propiedad positiva.

-Teorema 1. Una propiedad positiva es lógicamente consistente (por ejemplo, existe algún caso particular).

-Definición. Algo es semejante a Dios si, y solamente si, posee todas las propiedades positivas.

-Axioma 3. Ser semejante a Dios es una propiedad positiva.

-Axioma 4. Ser una propiedad positiva (lógica, por consiguiente) es necesaria.

-Definición. Una propiedad P es la esencia de x si, y sólo si, x contiene a P y P es necesariamente mínima.

-Teorema 2. Si x es semejante a Dios, entonces ser semejante a Dios es la esencia de x.

-Definición. NE(x): x existe necesariamente si tiene una propiedad esencial.

-Axioma 5. Ser NE es ser semejante a Dios.

-Teorema 3. Existe necesariamente alguna x tal que x es semejante a Dios.

Resultado: Dios existe.

La prueba ontológica de Gödel en notación matemática.

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La prueba de Gödel utilizó la lógica modal (que distingue entre verdades necesarias, la que es verdadera en todos los mundos posibles, y las verdades contingentes, que es cierta en nuestro mundo, pero puede ser falsa en otro) y empleó en la definición de Dios una cuantificación explícita sobre sus propiedades, es decir, dado que la existencia necesaria es positiva, se concluye: ser como Dios es positivo. Además, la semejanza con Dios es una esencia de Dios, porque implica todas las propiedades positivas, y cualquier propiedad no positiva es la negación de alguna propiedad positiva, por lo tanto Dios no puede tener ninguna propiedad no positiva. Como cualquier objeto semejante a Dios es necesariamente existente, entonces cualquier objeto semejante a Dios en un mundo, lo es en cualquier otro mundo, por la definición de existencia necesaria. Dado la existencia de un objeto semejante a Dios en un mundo, probado anteriormente, podemos concluir que existe un objeto semejante a Dios en cualquier otro mundo posible.

Por supuesto, la comprensión de estos axiomas u razonamientos no son de fácil comprensión para el ciudadano común, aunque lo que quería Gödel, después de morir en 1978, era dejar tras de sí una teoría basada en los principios de la lógica modal que sugería que un ser superior debe existir. Este razonamiento matemático no tenía como intención convencer de la existencia de Dios, sino demostrar que el llamado “argumento ontológico” de la existencia de Dios era válido.

Los detalles de las matemáticas involucradas en la prueba ontológica de Gödel son ciertamente complicados pero, en esencia, lo que el sabio austríaco sostenía era lo siguiente: “Dios, por definición, es lo más perfecto que puede ser pensado. Si pensáramos en Dios como inexistente, entonces no sería realmente la idea de Dios, pues tendría la imperfección de no existir. Entonces, la oración ‘Dios existe’ es necesariamente verdadera. Por lo tanto, Dios existe”.

O bien: “Por definición, Dios es aquello de lo cual nada mayor puede concebirse. Por tanto, es imposible concebir que Dios no existe, pues de lo contrario podríamos concebir algo mayor que él, a saber, un Dios que sí exista. Así pues, es inconcebible que Dios no exista; luego existe.”

Si bien el argumento de Gödel no era totalmente novedoso, sí lo era el modelo matemático que propuso para probar esta idea. Sus teoremas y axiomas, entonces, pueden expresarse como ecuaciones matemáticas que se pueden rechazar o probar. Por lo pronto, recientemente, dos científicos europeos, el alemán Christoph Benzmüller, de la Universidad Libre de Berlín, y el austriaco Bruno Woltzenlogel, de la Universidad Técnica de Viena, lograron probar informáticamente el “Teorema de Dios” desarrollado a finales del siglo pasado por el matemático austriaco Kurt Gödel, que concluía que en base a los principios de la lógica debía existir un ser superior.

Si bien los científicos demostraron, usando una mayor lógica modal y un ordenador MacBook, que la argumentación de Gödel era matemáticamente correcta, aclararon que la verdadera noticia tenía que ver con la demostración de que una tecnología superior puede ayudar a la ciencia, más que con la teoría de que Dios exista o no. “Lo que se ha logrado a través de los computadores supone un éxito del genial razonamiento de Gödel. La prueba ontológica era, más que cualquier otra cosa, un buen ejemplo de algo inaccesible en las matemáticas o de la inteligencia artificial, que se ha resuelto usando la tecnología actual. El hecho de que la formalización de estos teoremas complicados se pueda realizar con computadores no profesionales abre todo tipo de posibilidades. Por eso, es totalmente increíble que el Teorema de Gödel se pueda probar de forma automática en pocos segundos o incluso menos apretando unas teclas y usando un ordenador portátil estándar».

Los críticos del “Teorema de Dios” de Gödel, por lo pronto, esgrimen que es imposible enjuiciar una demostración tan abstracta, pues incluso muchos lógico-matemáticos no han sido capaces de explicar todos los aspectos de esta prueba, y por lo tanto es muy difícil asegurar su completa naturaleza. Otros, en tanto, afirman que los cinco axiomas de la prueba de Gödel son cuestionables. De ese modo, si los axiomas de la prueba pueden ser cuestionados, entonces las conclusiones también pueden ser cuestionadas.

El hueso de Ishango

El Instituto Belga de Ciencias Naturales alberga entre sus fondos una pieza única para la historia de la Humanidad, un peroné de babuino con unas extrañas marcas conocido como el hueso de Ishango, la primera herramienta matemática de la que se tiene constancia. Datada hace unos 20.000 años, se cree que servía para contar, aunque también se le atribuyen otros usos. Esta es su increíble historia.

El Hueso de Ishango

Año 1960. La ciudad de Leopoldville (hoy Kinshasa) está envuelta en una enorme agitación, a punto de nacer un Congo independiente tras 75 años de colonialismo. Ajeno a todo este revuelo, el geólogo belga Jean de Heinzelin de Braucourt explora en la zona noreste del país, más en concreto en un área conocida como Ishango, situada en una de las riberas del Lago Eduardo (frontera entre el Congo belga y Uganda), donde nace el río Nilo.

Distintos descubrimientos arqueológicos, como arpones de hueso y hachas de piedras, han permitido averiguar que allí nació y medró hace unos 20.000 años, en pleno Paleolítico, una comunidad humana de cazadores y, sobre todo, pescadores, algunos de cuyos conocimientos pueden estar en el origen remoto de la civilización egipcia y del pensamiento y la filosofía occidentales.

Ni siquiera De Heinzelin podía imaginar la importancia de lo que encontró en aquel año de 1960. Se trataba de un largo hueso marrón, en concreto un peroné de babuino, con un trozo de cuarzo incrustado en uno de sus extremos. En un principio fue datado en un rango que iba del 6.500 al 9.000 a.C., pero luego se pudo saber que, en realidad, tenía más de 20.000 años de antigüedad. Pero, ¿por qué esta pieza era tan interesante?

El hueso de Ishango, como comenzó a llamársele, presentaba tres columnas de muescas talladas que abarcaban toda su longitud. Desde el primer momento se descartó su carácter decorativo al ser completamente asimétricas y todos los indicios apuntaban a que era una herramienta de conteo, como un ábaco primitivo, y que el cuarzo del extremo se usaba para grabar o escribir, hacer anotaciones. Continuar leyendo “El hueso de Ishango”

Errores de cálculo matemático que causaron 10 desastres!

Una diminuta falla en los cálculos ha provocado diversos accidentes, los cuales cobraron la vida de centenares de personas en diversas partes del mundo. Sabemos que las matemáticas son parte de las ciencias exactas y por tanto, lo establecido por ellas no acepta otra forma. Por ello es que al momento de aplicarlas a la vida diaria, cualquier variación podría significar o acarrear un desastre.

Enlistamos 10 accidentes graves que ocurrieron a consecuencia de pequeños fallos matemáticos.

1. Accidente de avión por culpa de unas ventanas cuadradas. The Havilland Comet fue la primera empresa británica en fabricar aviones, esto en 1952. Durante dos años operó sin problemas, hasta que en 1954, los directivos de la empresa decidieron dejar de hacer vuelos, dado a que se produjeron varios accidentes mortales en ese lapso de tiempo.

¿Qué es lo que provocó las anomalías en los aeroplanos? Resulta ser que los diseñadores de estos aviones decidieron colocarles ventanillas cuadradas, las cuales poseían cuatro ángulos rectos de 90 grados, que finalmente por la presión, fuerza de los vientos, así como el ascenso y descenso se formaban unas pequeñas grietas, que con el tiempo, reventaban los cristales y se producían despresurizaciones en el artefacto. A este fenómeno se le denomina “fatiga de los materiales”.

Es por ello que las ventanas en los aviones tienen una forma un tanto ovalada, así los ángulos resisten mucho más un cambio de fuerzas y evitan este tipo de accidentes.

2. Dirigible R101, 1930. Siete años antes del desastre Hindenburg, los británicos pensaron que sería divertido darse una vuelta en una burbuja de tela que albergara 155 mil metros cúbicos de hidrógeno. En su vuelo inaugural, el viento rasgó la cubierta del dirigible.

Dirigible Hindenburg

3. Aviones de combate se estrellan por los ángulos de la pista. Durante las épocas de las Guerras Mundiales fue muy común el uso de pistas de aterrizajes de portaaviones que se encontraban navegando en el mar. La labor de poner el aeroplano en tierra no resultaba sencilla, ya que había mucho movimiento en el mar, lo que ocasionaba que muchos aviones se estrellaran con aquellos que estaban en la otra punta para despegar. Continuar leyendo “Errores de cálculo matemático que causaron 10 desastres!”

Matemáticas Vs. Filosofía

La filosofía confundiendo a la matemática

Siempre digo que nuestra mente nos pone trabas y que debemos encontrar salidas impensadas para seguir de esto laberintos.

En el Blog Arcadia, leí un ejemplo sobre esto:

La parábola de la cuadratura del circulo

Érase una vez dos tipos muy cuadrados. Literalmente de 4 lados y otros tantos ángulos. Cansados de su existencia plana, emprendieron la aventura de reformar su vida hacia la plenitud y perfección que les inspiraba la circunferencia.

Después de examinar las alternativas desde todos los lados y los a ángulos posibles (solo cuatro al momento para ambos), finalmente emprendieron dos caminos diferentes y opuestos.

“Lo que nos hace diferentes del circulo son nuestros ángulos, que generan lados” – argumentó un cuadrado – “Por ello me voy a desprender de ellos, uno tras otro, y alcanzaré la perfección”. Raudo se puso manos a la obra. Le costó decidir por cual empezar, puesto que todos son iguales, pero  finalmente lo hizo.

Inmediatamente se convirtió en un triangulo isósceles. Mientras duró su  etapa triangular, tuvo que aguantar las bromas fáciles de las demás figuras por tener no uno sino dos “catetos” y los trastornos bipolares de la hipotenusa, un día orgullosa de su noble descubridor, y otro deprimida por no conseguir ser mas larga de lo que suman sus dos “catetos”.

A la vista del panorama, el ex-cuadrado, optó por suprimir rápidamente el ángulo recto residual, convirtiéndose es una línea recta. El resultado no le satisfizo en absoluto. Cierto que ahora podía presumir de ser el camino mas corto entre dos puntos, pero de golpe se encontró sin un área donde  moverse, dos únicos puntos de vista en los extremos y ni un ángulo de perspectiva.

Se fue cansando de recorrer cada día la misma línea y con el tiempo fue  acortando su camino, cada vez un poco mas, hasta renunciar a salir del punto donde se encontraba.

“¡Eureka!” – exclamó – (algo que se le debió quedar pegado de su etapa de triangulo isósceles…) “¡Conseguí la perfección!”

Finalmente ya no tenía ángulos, ni lados. Sin moverse siquiera tenia visión a 360 grados. Era lugar de paso de un numero infinito de líneas y planos. Hasta amplió su influencia al campo de la literatura, donde sería quien tuviera siempre la ultima palabra.

Sin embargo no tardó en darse cuenta que para conseguir esta posición privilegiada, tuvo que pagar un precio muy elevado. Renunció a su área. Perdió su propia dimensión para pasar a ser una posición en el espacio, que existe solo en cuanto determinada en función de un sistema de coordenadas establecidas por otros.

…¿y que pasó mientras con el otro cuadrado?

Salió también en búsqueda del mismo objetivo, recorriendo otro camino.

“Ser cuadrado tampoco está tan mal” – razonó en voz alta – “tendré ángulos y lados, pero son iguales entre sí y no serán tema de disputa mientras así continúe” Continuar leyendo “Matemáticas Vs. Filosofía”