Un jefe árabe dejó en herencia 17 camellos para sus tres hijos, de modo que tenían que repartírselos del siguiente modo:
La mitad para el mayor de los tres hijos.
La tercera parte para el mediano.
La novena parte para el más pequeño de los tres.
Ante la imposibilidad de hacer el reparto de los camellos, acudieron al Cadí. Se trataba de un hombre justo, generoso y un buen matemático. ¿Cómo afrontó el Cadí la situación?
Regaló a los tres hermanos un camello de su propiedad, de modo que eran 18 el total de camellos a repartir. Así al mayor de los tres hermanos le correspondieron 9 camellos, al mediano, 6 y al pequeño 2. De éste modo sobró 1 camello, que naturalmente devolvieron al Cadí llenos de agradecimiento y admiración por su sabiduría.
Dibuja en un papel o cartulina un cuadrado de lado 8 cm
Recorta los dos triángulos y los dos trapecios como se indica en la figura.
Coloca los trozos A, B, C y D en la forma en que se indica.
Resulta un rectángulo de lados: largo = 13 cm., ancho = 5 cm.
Como el rectángulo se compone de los mismos trozos que el cuadrado, deben tener la misma área. Sin embargo:
Área del cuadrado: 8 cm. x 8 cm. = 64 cm. cuadrados
Área del rectángulo = 13 cm. x 5 cm. = 65 cm cuadrados
¿A que se debe la diferencia de 1 cm. cuadrado?
En realidad, entre el rectángulo de lados 13 cm y 5 cm y el construido con las piezas A, B, C y D queda un pequeño espacio, imposible de detectar a simple vista, de 1 mm de ancho y que en total tiene 1 cm cuadrado, que es la diferencia entre 64 y 65 centímetros cuadrados.
Las sorpresas de este tipo se llaman paradojas de Hooper, porque este autor las presentó en su obra Rational Recreations en 1795
Sam Lloyd mostró ingeniosamente que las piezas pueden disponerse de forma que aparentemente sea 8 x 8 = 63:
La paradoja del cuadrado se debe a Lewis Carroll, matemático y escritor británico cuyo verdadero nombre es Charles Lutmidge Dogson. En su obra «Alicia en el país de las maravillas», manifiesta su interés por lo absurdo, los acertijos y la confusión.
Mysterious number 6174 es un curiosísimo artículo de Yutaka Nishiyama dedicado a una extraña propiedad del número 6174. El que a primera vista parece un número cualquiera encierra todo un misterio sin resolver, que es relativamente fácil de explicar. Es recomendable ver también el artículo original porque contiene más detalles, y también un bonito puzzle matemático al final:
La operación de Kaprekar
Existe una operación matemática llamada Operación de Kaprekar, un tanto singular. Consiste simplemente en reordenar los dígitos de un número de modo que se obtenga el mayor y el menor número posible, restando entonces el menor del mayor.
Esta operación se puede aplicar a números de cualquier tamaño, y se puere repetir una y otra vez. Resulta interesante lo que sucede exactamente con cuatro cifras, siempre que no sean todas iguales. Por ejemplo, empezando por 2007, el año en el que estamos:
Al llegar a 6174 el resultado se repite una y otra vez. Si durante la operación aparecen números de menos de cuatro cifras, basta rellenarlos con ceros a la izquierda.
Lo curioso es que independientemente del número por el que se empiece, mientras tenga cuatro cifras y no sean todas iguales, se llega siempre al 6174. Se puede deducir por qué sucede esto examinando cómo se comporta cada dígito durante la operación, o probando con los 8991 números de este tipo que existen entre 1000 y 9998:. Siempre se llega a 6174 en un máximo de siete pasos, y lo más probable es que se necesiten sólo tres. Los que sepan programar pueden utilizar el código del Generador de Series de Kaprekar para confirmarlo.
¿Es el 6174 el único número con esta propiedad?
No, pero examinar qué sucede con otros números de distinta longitud arroja más misterio que luz al asunto.
Si se prueba con los números de dos dígitos no se llega nunca a un número fijo, sino a un bucle cíclico del tipo 09, 81, 63, 27, 45, 09
Con tres dígitos se llega a 495
Para cuatro dígitos el número es el misterioso 6174
Para cinco dígitos, no hay número fijo, sino tres ciclos (además de distinta longuirud)
Para seis dígitos, se puede llegar al 549945, al 631764 o a un ciclo de siete números
Para siete dígitos tampoco hay número fijo, sino un único ciclo de nueve números. Para ocho y nueve hay otro par de números en cada caso.
Con diez dígitos se puede llegar a tres valores distintos: 6333176664, 9753086421 y 9975084201, o entrar en cinco ciclos cortos
Alguien se entretuvo en programar un ordenador para calcular hasta 15 dígitos, con los que se puede llegar a ocho resultados: dos números fijos o seis ciclos cortos.
Hasta el momento, ningún matemático tiene claro por qué sucede todo esto y por qué con tres y cuatro dígitos se llega a un único número, mientras que con otro número de dígitos no se llega a ninguno sino a ciclos, o por qué para complicar la cosa a veces se llega a varios números posibles y también a ciclos. ¿Habrá algún número con más dígitos que converja en un solo número parecido al 6174? No se sabe. Es uno de los muchos misterios de la Teoría de Números, y bien podría ser simplemente algo puramente circunstancial: una gran coincidencia.
En honor a su descubridor, el número 6174 se conoce también como Constante de Kaprekar.
