Juego matemático: El Teorema de Fermat

Hace unos años leí que este teorema, por muchos siglos había permanecido sin resolución. Como tantas cosas en la vida parece mentira que haya permanecido durante tanto tiempo sin finiquitarse, que algo enunciado y encima con «pistas» no haya sido comprendido.

No se bien porque todavía me sorprende este hecho, si tan difícil es entender los vericuetos en la política, en lo social, lo económico, en las relaciones interpersonales, etc., la verdad es sumamente elusiva a nuestros ojos

El caso es que este genio enunció el famoso teorema, pero, o la muerte lo sorprendió antes de escribir la solución- que dijo haberla encontrado y que no era mucho más larga que el espacio del margen de una hoja- ya que tenía la inveterada costumbre de escribir en los márgenes de cuanto caía en sus manos, – o como otros suponen, la respuesta se perdió en el tiempo.

Lo cierto que muchos matemáticos y aficionados trataron de encontrar la solución, en diferentes épocas, en especial desde que una universidad francesa y otra germana instituyeran premios para quien resolviera el mismo.

Dicen que alguien lo logró, pero no lo se y no me consta, por lo que me ha servido de entretenimiento el creer resolverlo, tal vez porque aparenta no ser necesaria más que una dosis de matemática de nivel casi primario.

El enunciado dice así : en el caso de los cuadrados, hay veces que se cumple que

a2 +b2 :z2 por ejemplo 3 2+4 2:5 2( tres al cuadrado más cuatro al cuadrado es igual a cinco al cuadrado – 9+16:25-) y el siguiente sería: 5 2+12 2:13 2 ( cinco al cuadrado mas doce al cuadrado es igual a trece al cuadrado -25+144:169-)

Luego decía ¿Qué relaciones serían posibles si an + bn : zn, cuando n es igual o mayor que 2, en números enteros, siendo z sucesivo de b (z: b + 1).

Tomamos un papel y un lápiz y la calculadora, empezamos a elevar al cuadrado, luego al cubo y paramos por un tiempo. Cuando volvimos a la carga se nos ocurrió que si Fermat pese a ser un genio, nos decía que la solución existía y era fácil-para su tiempo-, no podía ser entonces necesario hacer enormes cantidades de fórmulas y cuentas, bastaría con encontrar relaciones, escondidas sí, pero simples.

Comprobamos que había una relación en los cuadrados y era que se deben sumar dos superficies que con las condiciones dadas deben ser igual a una tercera, estos números son catetos e hipotenusa de triángulos sucesivos, -derivación del teorema de Pitágoras- la sumatoria de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa y son solo en algunos de los triángulos, ya que no podemos usar decimales. Estos son cada vez más alargados, ya que el cateto menor es igual a dos veces el del anterior menos uno, como vimos z: b + uno y b es igual b anterior más cuatro por Y, donde Y es igual dos elevado a la equis menos dos por la sumatoria de dos, por dos a la una más dos a la dos menos uno, etc. según el número de orden del triángulo considerado.

De esta forma tenemos los sucesivos triángulos que me molesté en calcular hasta donde alcanzó la calculadora:

32 + 42 :52 (9+16:25)

52 +122 :132 ( 25+144:1699

92+402:412 (81+1600:1681)

172+1442: 1452 (289+20736:21025)

332+5442:5452 (1089+295936:297025)

652+21122:21132 (4225+4460544:4464769)

1292+83202:83212 (16641+69222400:69239041)

2572+330242:330252 (66049+1090584578:109085625)

10252+5253122:5253132 etc.

20492+20992002:20992012

40972+83927042:83927052

81932+335626242:335626252 etc

Valores de Y:

X(relación)	Y	Cálculo
1 caso no existente	0	0.0 ……………… (2. Sumatoria de 0)
2	1	1.1 ……………… (2.Sumatoria de 1)
3	6	2.3 ……………… (2. Sumatoria de 1+2)
4	28	4.7 ……………… (4.Sumatoria de 1+2+4)
5	120	8.5 ……………… (8. Sumatoria de1+2+4+8)
6	496	16.31 ……………….. ´´
7	2016	32 .63 ………………..´´
8	8128	64 .127 ………………´´
9	32640	128 . 255 ……………´´
10	130816	256 .511 …………….´´
11	523776	512 .1023 …………..´´
12	2096128	1024 . 2047 ………..´´

etc. Formula General de Y : 2x-2 . 2.2 x-2-1

y la Formula general, para encontrar el triángulo siguiente que cumple también las condiciones pedidas por Fermat, sería:

a” 2+ b” 2 : z” 2 Sería: {2 a’-1}2+{b´(2x-2.2.2x-1…-1}2 : (b”+1)2

Como vemos los triángulos formados tienen formas cada vez más alargadas, el cateto mayor y la hipotenusa son desmesuradamente largos respecto a un cateto menor, que aunque crece es cada vez más despreciable frente a las otras mensurables. Por lo que podríamos decir que los triángulos mayores se asimilan a rectas –a partir del n° 7 – donde a tiende a ser inexistente ( en comparación), o sea tiende al valor 0 y los otros dos b y z se acercan a un valor infinitesimal, por lo que tendríamos una relación : b2 : z2 , que nos permitiría decir que en este caso límite que en las otras potencias se cumpliría el caso Fermat , pero si tratamos de asimilar lo requerido y elevar a, b y z como lo pide el teorema, ( al cubo, a la cuarta y lo que se desee),no podremos nunca realizar la igualdad de la sumatoria de los dos primeros términos con el tercero, por lo cual concluímos que solo algunos cuadrados cumplen las condiciones que describe el teorema de Fermat , bajo el cálculo encontrado y ninguna otra consigue la igualdad buscada , por ser el teorema de Fermat un ejercicio derivado del teorema de Pitágoras sobre los cuadrados, con exclusividad.

Que lindo es pensar que encontramos la respuesta, ¿la encontramos?, y….hay que pensar, ……hasta pronto.