Las matemáticas están llenan de problemas sin resolver por doquier, y los matemáticos lo único que hacen es pelearse por resolverlos primero. Uno de estos problemas sin resolver era el último teorema de Fermat, que fue planteado por Pierre de Fermat en el margen de la Arithmetica de Diofanto en el siglo XVII y que hasta 1995, finales del siglo XX, siguió sin solución que finalmente fue hallada por Andrew Wiles. Por ello actualmente al último teorema de Fermat se le llama también teorema de Fermat-Wiles.
Planteamiento del teorema
Fermat en su libro de Diofanto iba anotando al margen, así un día anotó el teorema:
Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.
Así Fermat continuaba con su costumbre de dar los problemas sin solución al resto de matemáticos, lo cual hacía que los demás tuvieran que demostrar sus afirmaciones. Así el último teorema de Fermat era más bien una conjetura, algo sin demostrar.
La formulación moderna del teorema es la siguiente:
Así el teorema nos dice que esta ecuación no tiene soluciones enteras distintas de cero para a, b y c enteros, y n mayor que dos.
Entendiendo el teorema
Si uno se fija en la fórmula del teorema, verá cierta similitud con el teorema de Pitágoras, así es cierto que la tiene. El teorema de Pitágoras puede interpretarse como que si tenemos un cuadrado, es posible dividirlos en cuadraditos más pequeños e iguales de tal forma que sean todos iguales. así el teorema de Fermat-Wiles nos dice precisamente que esto no es posible ni con los cubos ni con los hipercubos, de ahí se saca la similaridad entre ambos teoremas.
El proceso de resolución
La primera solución vino de la mano de Euler que lo demostró para exponentes iguales a tres, posteriormente Dirichlet y Legendre lo demostraron independientemente y por caminos distintos para el caso en que el exponente fuera cinco. Y en 1937 Gabriel Lamé lo demostró para el caso en que el exponente fuera siete. Todas estas soluciones particulares permitían demostrar los casos para los que los exponentes eran múltiplos de estos tres números primos.
El siglo XIX, tras la llegada de Lamé, abrió las puertas a más soluciones y así Niels Henrik Abel, Peter Barlow y Sophie Germain lograron desarrollar métodos para aproximarse a la solución del problema, pero el gran avance fue el de Kummer que lo demostró para todos los exponentes primos menores de cien, excepto para el 37, el 59 y el 67.
Así durante este siglo, la Academia Francesa de Ciencias ofreció un premio a quien resolviera el teorema, pero lo único que se recibió fue un conjunto de 1.000 soluciones incorrectas; llegando de este modo a afirmar el historiador Howard Eves que este teorema es el que mayor número de soluciones incorrectas.
Y finalmente el comienzo del siglo XX mostraba un futuro negro para la demostración del teorema gracias a los teoremas de Gödel, que abrían la posibilidad de su indemostrabilidad, es decir, que a pesar de ser verdadero no pudiera demostrarse.
La llegada de la solución
En 1960 Yves Hellegouarch logró asociar el último teorema de Fermat a un nuevo objeto matemático la curva elíptica, con lo cual asoció la conjetura Taniyama–Shimura al teorema. Posteriormente Ken Ribet avanzaría en la investigación y tras leer Andrew Wiles su trabajo, logró desarrollar la primera conjetura, pero un error la echó para atrás.
Así durante 1994 y 1995 estuvo junto a su estudiante Richard Taylor buscando salvar la demostración del error, hasta que finalmente lo consiguió. El teorema estaba demostrado.
Y el enigma continua…
El teorema de Fermat-Wiles está demostrado, pero todavía se desconoce la demostración de Fermat, dado que la demostración de Wiles no pudo ser la de Fermat al usar conceptos del siglo XX. Por ello, todavía podemos seguir soñando con hallar la demostración de Fermat o pensar simplemente que no la tenía. Lo cual dejo a gusto del lector.